حالا که صحبت مدلسازی شد اجازه بدین قدری بیشتر در این مورد توضیح بدهم که موقع مراجعه به منابع و مراجع این موضوع دچار ابهام نشوید.
در کل دو نوع مدلسازی وجود داره: اولی مدلسازی فیزیکی که به اون مدلسازی مقیاسی هم گفته میشه و دومی هم مدلسازی ریاضی که به دو صورت تحلیلی یا عددی انجام میشه ولی گاهی به اشتباه مدلسازی ریاضی رو مترادف با مدلسازی عددی در نظر می گیرند که در ادامه یک توضیحی در این مورد می دهم.
۱- مدلسازی فیزیکی (Physical Modeling) یا مقیاسی (Scale Modeling): در این نوع مدلسازی در واقع ماکت فیزیکی نمونه اصلی ساخته میشه و رفتار پدیده موردنظر بر روی ماکت که در مقیاس کوچکتر یا بزرگتر (معمولا کوچکتر) ساخته شده برررسی میشه. این کار معمولا به دلیل هزینه بالای نمونه اصلی هست. برای نمونه وقتی می خواهند یک هواپیمای بزرگ را طراحی کنند یا تغییر کوچکی در قسمتی از بال یا بدنه اون انجام بدهند در عمل نمی آیند روی یک هواپیمای واقعی این کار را انجام بدهند چون هزینه اون خیلی زیاد هست و اگر آزمایش با شکست مواجه بشه جان خلبان و کل هواپیما از بین خواهد رفت. پس در عمل ماکت اون هواپیما در مقیاس کوچکتر (مثلا ۱:۱۰۰) ساخته میشه و سپس این ماکت درون یک تونل باد قرار می گیره و با وزش پنکه هایی به اون ماکت کوچکتر به شکلی سعی می کنند رفتار هواپیمای بزرگتر (نمونه اصلی) را بررسی کنند. یا مثلا در مورد سازه های بزرگ مثل سد ممکن است چنین ماکت هایی ساخته شود و رفتار اون هنگامی که با جریان های هیدرولیکی مختلف مواجه میشه بررسی بشه.
به این ۱:۱۰۰ که در مثال بالا اشاره شد ضریب مقیاس مدلسازی گفته میشه و بسته به ابعاد نمونه اصلی ممکنه از ضریب های مقیاس مختلفی در مدلسازی های فیزیکی استفاده بشود. منتهی این کار دارای دردسرهای خاص خودش هست. یکی از اونها هزینه نسبتا بالای انجام این نوع مدلسازی های فیزیکی هست. برای نمونه در همون ماکت هواپیما شما باید کلی هزینه کنید تا ماکت را بسازید و نیز نیازمند یک آزمایشگاه مجهز به تونل باد و ابزارهای اندازه گیری سرعت و فشار و غیره هستید تا بتونید رفتار اون ماکت در سرعت های مختلف رو بررسی کنید.
در مورد مسائل پزشکی با توجه به اینکه انسان یک موجود زنده هست شاید مثلا بشود آزمایش هایی که روی حیوانات دارای آناتومی مشابه انسان (مثل موش و میمون و غیره) انجام می شود را از این نوع به حساب آورد. البته به دلایلی که در ادامه می گویم این نوع مدلسازی یک دردسر دیگری هم دارد که باعث میشه نمونه کوچکتر (ماکت) لزوما رفتار مشابه با نمونه اصلی را نداشته باشه.
این مشکل از اونجایی ناشی میشه که جدای از اینکه نمونه اصلی و مدل (ماکت) می بایست دارای تشابه هندسی باشند (یعنی نسبت اجزای مختلف یکسان باشه) بلکه می بایست قوانین تشابه دینامیکی بین مدل و نمونه اصلی هم برقرار باشد. مثلا فرض کنید بال یک هواپیمای بزرگ ممکن است باد با سرعت ۳۰۰ کیلومتر در ساعت را تحمل کند ولی یک نمونه کوچک که از این هواپیما ساخته شده نمی تواند لزوما این سرعت را تحمل کند و با توجه به ابعادش همین که سرعت ۳۰ کیلومتر در ساعت را هم تحمل کند کافی است. این به دلیل همان تشابه دینامیکی است و باعث می شود در مدلسازی فیزیکی مجبور باشید برای حفظ این نوع تشابه حتی جنس سیال مورد استفاده در مدل و نمونه اصلی متفاوت باشد. مثلا ممکن است در مدلسازی جریان از روی سازه ای مثل سد مجبور شوید برای اینکه این تشابه رو برقرار کنید از سیالی مثل روغن استفاه کنید که دارای لزجت پایین تر یا بالاتری هست.
پس در مجموع می شود گفت این نوع مدلسازی نسبتا هزینه بر بوده و نیازمند دقت زیادی در ساخت مدل هست به طوری که بشود نتایج را در نهایت با هم مقایسه کرد.
۲- مدلسازی ریاضی (Mathematical Modeling) که به دو صورت تحلیلی (Analytical) یا عددی (Numerical) انجام میشه. و در واقع پیشنهاد من هم این هست که بیشتر به سمت این نوع مدلسازی بروید که ارزان تر و مقرون به صرفه تر هست. در این نوع مدلسازی همونطور که از اسمش هم پیداست شما نمونه اصلی را با یک سری معادلات ریاضی و فرضیاتی شبیه سازی می کنید و سپس این معادلات را روی کاغذ یا با ماشین حساب یا کامیوتر حل می کنید. اینکه چه معادلاتی را برای بیان پدیده موردنظر به کار ببرید می شود مدل ریاضی موردنظر. معمولا در این قسمت نیازی نیست شما کار زیادی کنید و این نوع مدل های ریاضی توسط دیگران معرفی شده اند مگر اینکه بخواهید روی یک موضوع بسیار جدید کار کنید. مثلا در همان مقاله ای که در صفجه گذاشته به اون پرداختیم دیدیم که برای تعریف پدیده رشد یک تومور سرطانی از ۴ معادله ریاضی که از نوع معادلات دیفرانسیل جزئی بودند استفاده شده بود. در مرحله دوم صحبت حل این معادلات حاکم بر پدیده یا همان مدل ریاضی تعریف شده برای آن پدیده پیش می آید. در اینجا دوباره دو روش کلی برای حل وجود دارد.
الف) روش های تحلیلی
در این روش شما معادله های ریاضی موردنظر را به صورت جبری یا تحلیلی حل می کنید. مثلا مساحت زیر یک نمودار معرف انتگرال آن نمودار است. در نتیجه اگر شما بتوانید انتگرال موردنظر را روی کاغذ به صورت تحلیلی حل کنید در عمل دیگر نیازی به مدلسازی عددی نحواهید داشت. مثلا برای یافتن مساحت زیر نمودار y=x انتگرال آن مشخص است که 0.5 * (X^2) است و با دانستن این موضوع شما دیگر نیازی به حل عددی این مساله برای یافتن مساحت زیر نمودار y=x نخواهید بود. در واقع کاری که من و شما در تمام طول دوران دبیرستان برای حل مسائل ریاضی به کار می بردیم از نوع تحلیلی بوده است.
ب) روش های عددی
ولی از آنجایی که همیشه امکان حل تحلیلی همه مساپل ریاضی فراهم نیست. مثلا ممکن است نموداری که قرار است مساحت زیر آن محاسبه شود دارای معادله خیلی پیچیده ای بوده و روش تحلیلی مشخصی برای حل آن وجود ندارد در اینجا شما مجبور می شود مساحت زیر نمودار را به صورت عددی تقریب بزنید. یعنی می آیید و زیر نمودار به ده ها و صدها مستطیل تقسیم می کنید و مساحت آن مستطیل ها را جمع می زنید (از نظر عددی مقدار آن نمودار را در بازه های مختلف به دست می آورید و ضربدر بازه هایی که تقسیم کرده اید می کنید و حاصل اینها را با هم جمع می کنید). اگر بازه هایی که برای تقسیم در نظر گرفته باشید به قدر کافی کوچک باشد طبیعی است که مساحتی که به این شکل و به صورت عددی تقریب زده می شود بسیار نزدیک به مقداری باشد که به صورت تحلیلی و از روش اول به دست می آید. برای انجام این نوع برآوردهای تقریبی یا در واقع حل عددی مسائل ریاضی پیچیده هم روش های عددی زیادی توسط افراد مختلف معرفی شده که می شود از آنها استفاده کرد. مثلا برای حل تقریبی و عددی یک معادله دیفرانسیل درجه ۲ ممکن است ۱۰ پژوهشگر روش های مختلفی را که معمولا به نام خودشان است را پیشنهاد داده باشند که در کتاب های روش های عددی به اینها پرداخته شده و شما می توانید از یکی از اینها استفاده کنید.
تا قبل از دهه ۹۰ به دلیل نبود کامپیوتر و یا سرعت پایین کامپیوترها امکان انجام چنین محاسبات عددی برای مسائل خیلی پیچیده فراهم نبود یا خیلی وقت گیر بوده ولی به تدریج با بهبود سرعت کامپیوترها از برنامه های کامپیوتری دارای سرعت بالا مثل فرترن و C استفاده می شد. در عمل بعد از حدود سال ۲۰۰۰ با بیشتر شدن سرعت کامپیوترها حتی می توان با برنامه های کامپیوتری با سرعت پایین تری مثل Matlab هم در زمان معقولی به مدلسازی و حل عددی یک پدیده پرداخت.
==============
در مجموع باید گفت روش مدلسازی فیزیکی یا مقیاسی که در ابتدای کار گفتم هزینه بر هست و شاید در داخل امکان انجام چنین مدلسازی هایی زیاد فراهم نباشد. در مورد روش دوم مدلسازی که روش ریاضی است دوباره به دو نوع تقسیم شده که اولی تحلیلی و دومی عددی است. روش تحلیلی را بهتر است دوستانی که ریاضی کاربردی می خوانند و تسلط بیشتری بر روی حل معادلات ریاضی و روش های حل آنها دارند استفاده کنند و روش دوم یعنی حل عددی را بقیه رشته ها (از پزشکی گرفته تا مهندسی و گیاه شناسی و هر رشته دیگری به غیر از ریاضی).
مدل های فیزیکی -----> هیچکدام نمی خواهد زیاد پیگیر آن شوید. (اگر امکاناتش فراهم نبود)
مدل ریاضی با رویکرد حل تحلیلی -----> بیشتر ریاضی کاربردی ها
مدل ریاضی با رویکرد حل عددی ------> بیشتر بقیه رشته ها
در کل دو نوع مدلسازی وجود داره: اولی مدلسازی فیزیکی که به اون مدلسازی مقیاسی هم گفته میشه و دومی هم مدلسازی ریاضی که به دو صورت تحلیلی یا عددی انجام میشه ولی گاهی به اشتباه مدلسازی ریاضی رو مترادف با مدلسازی عددی در نظر می گیرند که در ادامه یک توضیحی در این مورد می دهم.
۱- مدلسازی فیزیکی (Physical Modeling) یا مقیاسی (Scale Modeling): در این نوع مدلسازی در واقع ماکت فیزیکی نمونه اصلی ساخته میشه و رفتار پدیده موردنظر بر روی ماکت که در مقیاس کوچکتر یا بزرگتر (معمولا کوچکتر) ساخته شده برررسی میشه. این کار معمولا به دلیل هزینه بالای نمونه اصلی هست. برای نمونه وقتی می خواهند یک هواپیمای بزرگ را طراحی کنند یا تغییر کوچکی در قسمتی از بال یا بدنه اون انجام بدهند در عمل نمی آیند روی یک هواپیمای واقعی این کار را انجام بدهند چون هزینه اون خیلی زیاد هست و اگر آزمایش با شکست مواجه بشه جان خلبان و کل هواپیما از بین خواهد رفت. پس در عمل ماکت اون هواپیما در مقیاس کوچکتر (مثلا ۱:۱۰۰) ساخته میشه و سپس این ماکت درون یک تونل باد قرار می گیره و با وزش پنکه هایی به اون ماکت کوچکتر به شکلی سعی می کنند رفتار هواپیمای بزرگتر (نمونه اصلی) را بررسی کنند. یا مثلا در مورد سازه های بزرگ مثل سد ممکن است چنین ماکت هایی ساخته شود و رفتار اون هنگامی که با جریان های هیدرولیکی مختلف مواجه میشه بررسی بشه.
به این ۱:۱۰۰ که در مثال بالا اشاره شد ضریب مقیاس مدلسازی گفته میشه و بسته به ابعاد نمونه اصلی ممکنه از ضریب های مقیاس مختلفی در مدلسازی های فیزیکی استفاده بشود. منتهی این کار دارای دردسرهای خاص خودش هست. یکی از اونها هزینه نسبتا بالای انجام این نوع مدلسازی های فیزیکی هست. برای نمونه در همون ماکت هواپیما شما باید کلی هزینه کنید تا ماکت را بسازید و نیز نیازمند یک آزمایشگاه مجهز به تونل باد و ابزارهای اندازه گیری سرعت و فشار و غیره هستید تا بتونید رفتار اون ماکت در سرعت های مختلف رو بررسی کنید.
در مورد مسائل پزشکی با توجه به اینکه انسان یک موجود زنده هست شاید مثلا بشود آزمایش هایی که روی حیوانات دارای آناتومی مشابه انسان (مثل موش و میمون و غیره) انجام می شود را از این نوع به حساب آورد. البته به دلایلی که در ادامه می گویم این نوع مدلسازی یک دردسر دیگری هم دارد که باعث میشه نمونه کوچکتر (ماکت) لزوما رفتار مشابه با نمونه اصلی را نداشته باشه.
این مشکل از اونجایی ناشی میشه که جدای از اینکه نمونه اصلی و مدل (ماکت) می بایست دارای تشابه هندسی باشند (یعنی نسبت اجزای مختلف یکسان باشه) بلکه می بایست قوانین تشابه دینامیکی بین مدل و نمونه اصلی هم برقرار باشد. مثلا فرض کنید بال یک هواپیمای بزرگ ممکن است باد با سرعت ۳۰۰ کیلومتر در ساعت را تحمل کند ولی یک نمونه کوچک که از این هواپیما ساخته شده نمی تواند لزوما این سرعت را تحمل کند و با توجه به ابعادش همین که سرعت ۳۰ کیلومتر در ساعت را هم تحمل کند کافی است. این به دلیل همان تشابه دینامیکی است و باعث می شود در مدلسازی فیزیکی مجبور باشید برای حفظ این نوع تشابه حتی جنس سیال مورد استفاده در مدل و نمونه اصلی متفاوت باشد. مثلا ممکن است در مدلسازی جریان از روی سازه ای مثل سد مجبور شوید برای اینکه این تشابه رو برقرار کنید از سیالی مثل روغن استفاه کنید که دارای لزجت پایین تر یا بالاتری هست.
پس در مجموع می شود گفت این نوع مدلسازی نسبتا هزینه بر بوده و نیازمند دقت زیادی در ساخت مدل هست به طوری که بشود نتایج را در نهایت با هم مقایسه کرد.
۲- مدلسازی ریاضی (Mathematical Modeling) که به دو صورت تحلیلی (Analytical) یا عددی (Numerical) انجام میشه. و در واقع پیشنهاد من هم این هست که بیشتر به سمت این نوع مدلسازی بروید که ارزان تر و مقرون به صرفه تر هست. در این نوع مدلسازی همونطور که از اسمش هم پیداست شما نمونه اصلی را با یک سری معادلات ریاضی و فرضیاتی شبیه سازی می کنید و سپس این معادلات را روی کاغذ یا با ماشین حساب یا کامیوتر حل می کنید. اینکه چه معادلاتی را برای بیان پدیده موردنظر به کار ببرید می شود مدل ریاضی موردنظر. معمولا در این قسمت نیازی نیست شما کار زیادی کنید و این نوع مدل های ریاضی توسط دیگران معرفی شده اند مگر اینکه بخواهید روی یک موضوع بسیار جدید کار کنید. مثلا در همان مقاله ای که در صفجه گذاشته به اون پرداختیم دیدیم که برای تعریف پدیده رشد یک تومور سرطانی از ۴ معادله ریاضی که از نوع معادلات دیفرانسیل جزئی بودند استفاده شده بود. در مرحله دوم صحبت حل این معادلات حاکم بر پدیده یا همان مدل ریاضی تعریف شده برای آن پدیده پیش می آید. در اینجا دوباره دو روش کلی برای حل وجود دارد.
الف) روش های تحلیلی
در این روش شما معادله های ریاضی موردنظر را به صورت جبری یا تحلیلی حل می کنید. مثلا مساحت زیر یک نمودار معرف انتگرال آن نمودار است. در نتیجه اگر شما بتوانید انتگرال موردنظر را روی کاغذ به صورت تحلیلی حل کنید در عمل دیگر نیازی به مدلسازی عددی نحواهید داشت. مثلا برای یافتن مساحت زیر نمودار y=x انتگرال آن مشخص است که 0.5 * (X^2) است و با دانستن این موضوع شما دیگر نیازی به حل عددی این مساله برای یافتن مساحت زیر نمودار y=x نخواهید بود. در واقع کاری که من و شما در تمام طول دوران دبیرستان برای حل مسائل ریاضی به کار می بردیم از نوع تحلیلی بوده است.
ب) روش های عددی
ولی از آنجایی که همیشه امکان حل تحلیلی همه مساپل ریاضی فراهم نیست. مثلا ممکن است نموداری که قرار است مساحت زیر آن محاسبه شود دارای معادله خیلی پیچیده ای بوده و روش تحلیلی مشخصی برای حل آن وجود ندارد در اینجا شما مجبور می شود مساحت زیر نمودار را به صورت عددی تقریب بزنید. یعنی می آیید و زیر نمودار به ده ها و صدها مستطیل تقسیم می کنید و مساحت آن مستطیل ها را جمع می زنید (از نظر عددی مقدار آن نمودار را در بازه های مختلف به دست می آورید و ضربدر بازه هایی که تقسیم کرده اید می کنید و حاصل اینها را با هم جمع می کنید). اگر بازه هایی که برای تقسیم در نظر گرفته باشید به قدر کافی کوچک باشد طبیعی است که مساحتی که به این شکل و به صورت عددی تقریب زده می شود بسیار نزدیک به مقداری باشد که به صورت تحلیلی و از روش اول به دست می آید. برای انجام این نوع برآوردهای تقریبی یا در واقع حل عددی مسائل ریاضی پیچیده هم روش های عددی زیادی توسط افراد مختلف معرفی شده که می شود از آنها استفاده کرد. مثلا برای حل تقریبی و عددی یک معادله دیفرانسیل درجه ۲ ممکن است ۱۰ پژوهشگر روش های مختلفی را که معمولا به نام خودشان است را پیشنهاد داده باشند که در کتاب های روش های عددی به اینها پرداخته شده و شما می توانید از یکی از اینها استفاده کنید.
تا قبل از دهه ۹۰ به دلیل نبود کامپیوتر و یا سرعت پایین کامپیوترها امکان انجام چنین محاسبات عددی برای مسائل خیلی پیچیده فراهم نبود یا خیلی وقت گیر بوده ولی به تدریج با بهبود سرعت کامپیوترها از برنامه های کامپیوتری دارای سرعت بالا مثل فرترن و C استفاده می شد. در عمل بعد از حدود سال ۲۰۰۰ با بیشتر شدن سرعت کامپیوترها حتی می توان با برنامه های کامپیوتری با سرعت پایین تری مثل Matlab هم در زمان معقولی به مدلسازی و حل عددی یک پدیده پرداخت.
==============
در مجموع باید گفت روش مدلسازی فیزیکی یا مقیاسی که در ابتدای کار گفتم هزینه بر هست و شاید در داخل امکان انجام چنین مدلسازی هایی زیاد فراهم نباشد. در مورد روش دوم مدلسازی که روش ریاضی است دوباره به دو نوع تقسیم شده که اولی تحلیلی و دومی عددی است. روش تحلیلی را بهتر است دوستانی که ریاضی کاربردی می خوانند و تسلط بیشتری بر روی حل معادلات ریاضی و روش های حل آنها دارند استفاده کنند و روش دوم یعنی حل عددی را بقیه رشته ها (از پزشکی گرفته تا مهندسی و گیاه شناسی و هر رشته دیگری به غیر از ریاضی).
مدل های فیزیکی -----> هیچکدام نمی خواهد زیاد پیگیر آن شوید. (اگر امکاناتش فراهم نبود)
مدل ریاضی با رویکرد حل تحلیلی -----> بیشتر ریاضی کاربردی ها
مدل ریاضی با رویکرد حل عددی ------> بیشتر بقیه رشته ها
ای دگرگون کننده ی دل ها و چشم ها / ای گرداننده ی روزها و شب ها / ای تغییر دهنده ی روزگار و انسان ها / حال ما را به بهترین حال دگرگون فرما
.We are all visitors to this time, this place. We are just passing through. Our purpose here is to observe, to learn, to grow, to love... and then we return home
Aboriginal Proverb -
